이 글은 학문적 증명을 위함이 아니고, 지하철 기다리면서 한 쓸데없는 질문과 생각에서 시작되었음을 미리 밝혀 둡니다. :-)
질문) 버스나 지하철 안내에 2분마다 온다고 되어있다면, 매일 지하철을 타는 사람은 평균 1분 정도만 기다리면 되는 것 아닐까? 뭐, 어떤 날은 30초를, 어떤날은 1분30초을 기다리겠지만...평균은 1분 아닌가?
하지만... 왠지 우리의 경험상 1분이상 기다리는 날이 더 많다.
왜?우선, 감으로 말한 평균 1분이 맞는지 부터 확인해보자.
지하철이 2분마다 온다고 하면, 마침 우리가 0분에 플랫폼이 도착한다면, 기다리는 시간은 0분,(앗 그런데 문이 닫혔다.. 운이 없게도..2분을 기다려야한다.)
지하철이 떠나고 1분후 도착했다면 기다려야하는 시간은 1분.. 다음 지하철이 막 도착할때라면, 0분을 기다린다.
이런식으로 지하철이 올때마나 기다리는 시간은 0분~2분으로 바뀔것이다.
말보다는 그림~
그렇다면, 기다리는 시간의 평균은.... 어떻게 구할까.. (산수책 떠난지 오래라서..)
(뭐 학교에서 반평균내는 것이라 비슷하다. 1번학생은 10점, 2번 학생은 20점, 3번학생은 10점, 4번학생은 20점 일때 반평균은.. 점수 다 더하고 학생수로 나누면 된다.
그리고 기억났다 죽 더하는것을 연속으로하는 것이 적분이고 이것이 면적이라는 것..
아이고 머리야... 수학 공식을 싫다면 아래 그림 보면 척~ 평균은 1분 맞다.
1분이 넘치는 삼각형들을 1분의 사작형에서 채워지지 않은쪽에 넣으면 딱 맞을듯~
그런에 여기서 현실은 지하철은 2분마다 꼬박 꼬박 맞쳐서 오지 않는다. 어떤 경우 1대가 조금 늦게 도착했다면 우리가 기다리는 시간은 어떻게 될까? 첫번째 기차가 승객을 많이 태우느라고 예정보다 1분 늦게 도착했다면.. 아래 그림처럼 될것 이다.
아~ 눈치를 보니 앞에서 본 평균 1분보다.. 기다리는 시간이 남는다.
산수로 계산해보면.
기다리는 총 시간합 = 삼각형의 면적 = (3 * 3 ) / 2 + ( 1 * 1 ) / 2 = 5
평균 기다리는 시간 = 5 / 4 = 1.25 분
반대로 운전사 아저씨가 속도를 내어서 일정보다 일찍 도착한다고 하더라도, 아래 그림과 같이 기다리는 시간은 늘어난다.
자.. 이해가 안되신다고요. 눈이 엄청 오는날 같은 번호의 버스 두대가 함께 오는 경우가 있지요. 이때는 당근 많은 사람들이 엄청 기다렸을 겁니다.
드디어 결론
실제로 열차가 규칙적으로 오지 않고, 조금 일찍 오거나 늦게 오기때문에 우리가 평균이라고 생각하는 시간보다 더 기다려야한다.
PS. 꼬리에 꼬리는 무는 딴 생각.. 다음번에 심심할때 왜? 내가 타려는 반대 방향 지하철이 빨리 오는 경우가 많을까요? 이것을 증명해볼까합니다.
미리 증명하신 분은 트랙백 부탁드립니다.
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